La ley de Poiseuille (también conocida como ley de Hagen-Poiseuille) después de los experimentos llevados a cabo en1839 por Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797-1884) es una ley que permite determinar la corriente de un líquido incompresible y uniformemente viscoso (también denominado fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Esta ecuación fue derivada experimentalmente en 1838, formulada y publicada en 1840 y 1846por Jean Louis Marie Poiseuille (1797-1869).
1) Distribución de velocidad :
Supongamos una fuerza que esta generando el movimiento del flujo y un esfuerzo cortante sobre una sección cilíndrica, y a esta la vamos a trabajar en dos secciones, la sección T , y la sección W. en las cuales vamos a encontrar la velocidad del flujo que circula a través de ellas, pero primero debemos aclarar un par de aspectos relacionados a la dinámica de fluidos, si notamos que la velocidad es inversamente proporcional al tamaño del radio( a menor radio mayor velocidad, a mayor radio menor velocidad), y el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la velocidad( entre mayor velocidad mayor es esfuerzo cortante , entonces de estas dos conclusiones podemos concluir que el esfuerzo cortante es proporcional a la velocidad entre el radio, por tanto tenemos una constante de proporcionalidad η la cual se denomina viscosidad del fluido
$$ \quad v\quad \alpha \quad \frac { 1 }{ r } \quad \wedge \quad \tau \quad \alpha \quad v \Rightarrow \quad \tau \quad \alpha \quad \frac { v }{ r } $$
2) Si hacemos la sección para poder analizar el esfuerzo cortante ya que este se da en los extremos de La sección W, tomamos un diferencial de radio y en ese diferencial de radio vamos a tener un diferencial de velocidad para dicho esfuerzo cortante en franja diferencial de radio dr y una velocidad dv entonces establecemos la siguiente relación.
$$ 2) \quad \tau \quad \alpha \quad \frac { v }{ r } \Rightarrow \tau =\quad { \eta }\frac { dv }{ dr } $$
3) El esfuerzo cortante se define como una fuerza que se ejerce entre un área determinada, podemos establecer una igualdad para poder buscar una ecuación diferencial entre la velocidad y el radio.
$$ \quad \tau =\quad \frac { { f }_{ v } }{ A } =\frac { Fuerza }{ Área } $$
Si tomamos la parte 2) y 3) obtenemos:
$$ 4) \quad \tau =\quad \eta \frac { dv }{ dr } \quad \wedge \quad \tau =\frac { { f }_{ v } }{ A } =\frac { { f }_{ v } }{ 2\pi rl } \quad \Rightarrow \quad \eta \frac { dv }{ dr } \quad ={ \frac { { f }_{ v } }{ 2\pi rl } ,\quad \Rightarrow f_{ v } }=2\pi rl\eta \frac { dv }{ dr } ,\quad \quad { ecuación\quad 1 } $$
5) Siguiendo con la sección de radio r y longitud l vamos a estudiar la fuerza y el gradiente de presión que existe en esta sección de la arteria.
Teniendo presente que la fuerza se puede determinar como una presión entre un área, en este caso tenemos dos presiones que se ejercen en movientos contrarios. La primera fuerza que esta a favor del flujo, y la segunda que es una fuerza opuesta al flujo.
$$ Presión\quad { p }_{ 1 }=\frac { Fuerza\quad { F }_{ 1 } }{ Área\quad { A }_{ 1 } } \quad \wedge \quad Presión\quad { p }_{ 2 }=\frac { Fuerza\quad { F }_{ 2 } }{ Área\quad { A }_{ 2 } } $$
$$ \Rightarrow { F }_{ 1 }=\quad { p }_{ 1 }.{ A }_{ 1 }\quad \wedge \quad { F }_{ 2 }=\quad { p }_{ 2 }.{ A }_{ 2 },\quad Pero\quad obserserve\quad que\quad { A }_{ 1 }={ A }_{ 2 }=\pi { R }^{ 2 }=A $$
6) Aplicando las leyes de la dinámica planteamos una sumatoria de fuerzas simples.
$$ \Rightarrow { F }_{ 1 }-{ F }_{ 2 }+F_{ p }=0 $$
$$ \Rightarrow A{ p }_{ 1 }-A{ p }_{ 2 }+F_{ p }=0, por\quad paso\quad 5) $$
$$ \Rightarrow A{ p }_{ 1 }-A{ p }_{ 2 }=-F_{ p } $$
$$ \Rightarrow F_{ p }=\quad -\pi { r }^{ 2 }{ (p }_{ 1 }-{ p }_{ 2 })\quad =-\pi { r }^{ 2 }\Delta p $$
$$ \Rightarrow F_{ p }=-\pi { r }^{ 2 }\Delta p,\quad Ecuación\quad 2. $$
7) Si igualamos la ecuación 1 con la ecuación 2 y despejamos dv obtenemos :
$$ Si\quad F_{ p }={ F }_{ v } $$
$$ \Rightarrow \quad 2\pi rl\eta \frac { dv }{ dr } \quad =\quad -\pi { r }^{ 2 }\Delta p $$
$$ \Rightarrow \quad dv\quad =\quad -\frac { \Delta pr }{ 2l\eta } dr $$
$$ \int { dv } =\quad \int { -\frac { \Delta pr }{ 2l\eta } dr } \quad =\quad -\frac { \Delta p }{ 2l\eta } \int { rdr } $$
$$ \Rightarrow \quad v\quad =\quad -\frac { \Delta p{ r }^{ 2 } }{ 4l\eta } \quad +\quad C $$
8) La constante se calcula con la condición del limite, sabiendo que la velocidad en las paredes de la sección T es igual a cero. esto porque R = r, si hacemos la sustitución obtenemos:
$$ \Rightarrow \quad 0=\quad -\frac { \Delta p{ R }^{ 2 } }{ 4l\eta } \quad +\quad C $$
$$ \Rightarrow \quad \frac { \Delta p{ R }^{ 2 } }{ 4l\eta }= C $$
$$ \Rightarrow \quad v\quad =\quad -\frac { \Delta p{ r }^{ 2 } }{ 4l\eta } \quad +\quad C\quad =\quad -\frac { \Delta p{ r }^{ 2 } }{ 4l\eta } \quad +\frac { \Delta p{ R }^{ 2 } }{ 4l\eta } \quad =\quad \frac { \Delta p{ (R }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }) }{ 4l\eta } $$
$$ Asi\quad obtenemos\quad que: \quad v\quad =\quad \frac { \Delta p{ (R }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }) }{ 4l\eta } \quad $$
De este modo obtenemos la ecuación de la velocidad con respectos a los radios respectivos, el radio mayor y el radio en un punto dado. La cual nos va a servir para trabajar nuestro siguiente paso que es encontrar el caudal Q que recorre la arteria.
9) Por definición decimos que el caudal Q es igual a velocidad por área.
$$ Q\quad =\quad Velocidad.Area\quad =\quad v.A $$
$$ \Rightarrow \quad Q\quad =\quad v.A\quad =\quad v.\pi { r }^{ 2 } $$
10) Ahora vamos a derivar, pero vamos asumir la velocidad constante, porque si proyectamos un diferencial de radio sobre la sección longitudinal y hacemos la distribución de velocidad al ser un espacio tan pequeño los cambios de velocidad son casi invariables por tanto se asume v constante, así que vamos a derivar con respecto a r únicamente.
$$ dQ\quad =\quad \pi v2rdr $$
$$ \Rightarrow \quad dQ\quad =\quad 2\pi r\frac { \Delta p{ (R }^{ 2 }-{ r }^{ 2 }) }{ 4l\eta } dr \quad =\quad \frac { \pi \Delta p }{ 2l\eta } { (R }^{ 2 }r-{ r }^{ 3 })dr$$
11) Ahora vamos a integrar el caudal tomando los limites de integración con respecto a la sección T
$$ \int _{ 0 }^{ Q }{ dQ\quad =\quad } \int _{ 0 }^{ R }{ \frac { \pi \Delta p }{ 2l\eta } { (R }^{ 2 }r-{ r }^{ 3 })dr } =\quad \frac { \pi \Delta p }{ 2l\eta } \int _{ 0 }^{ R }{ { (R }^{ 2 }r-{ r }^{ 3 })dr } $$
$$ \Rightarrow \quad Q\quad =\frac { \pi \Delta p }{ 2l\eta } \left( \frac { { R }^{ 2 }{ r }^{ 2 } }{ 2 } -\frac { { r }^{ 4 } }{ 4 } \right) $$
$$ Si\quad evaluamos\quad los\quad limites\quad de\quad integración\quad obtenemos: $$
$$\Rightarrow \quad Q\quad =\frac { \pi \Delta p }{ 2l\eta } \left( \frac { { R }^{ 4 } }{ 2 } -\frac { { R }^{ 4 } }{ 4 } \right) $$
$$ \Rightarrow \quad Q\quad =\frac { \pi \Delta p{ r }^{ 4 } }{ 8l\eta } ,\quad Ecuación\quad de\quad Poiseuille. $$
No hay comentarios:
Publicar un comentario