Practicas

Sección de preguntas.

Pregunta 1

Si queremos construir una pared de ladrillo con los ladrillos de tamaño usual, que miden el doble de ancho (dos unidades) que de alto (una unidad), y si nuestro muro tiene dos unidades de alto, podemos construir el muro de un determinado número de formas, según cómo de largo lo queramos: Sólo hay una forma de hacer un muro de una unidad de largo: colocar un solo ladrillo, de pie. Hay dos formas de hacer un muro de longitud 2: dos ladrillos de pie, uno al lado del otro, o dos ladrillos tumbados, uno sobre otro. Hay tres formas de hacer un muro de longitud 3

¿Cuántas formas hay de hacer un muro de longitud 4? ¿Y 5? ¿Encuentras algo familiar en esos números? ¿Podrías explicar por qué aparecen?

Pregunta 2

En el dibujo hay una abeja, junto al extremo de algunas celdas de un panal. Puede empezar sólo en la celda 1 o 2, y sólo puede moverse hacia la derecha, es decir, hacia una celda vecina que contenga un número mayor que la celda en la que se encuentra

Sólo hay una forma de llegar a la celda 1, pero hay dos formas de llegar a la celda 2: directamente, o pasando por la celda 1. Para la celda 3, puede ir 123, 13 o 23, es decir, hay tres caminos distintos. ¿Cuántas formas hay para ir desde el principio hasta la celda n? Otra vez aparecen los números de Fibonacci. ¿Podrías explicar por qué?

  
Pregunta 3

Tenemos n sillas en fila, y una habitación llena de gente. Dos profesores no se puedan sentar juntos en la fila de sillas, y vamos a contar de cuántas formas posibles se pueden sentar n personas, si algunos son profesores (P), que no se pueden sentar juntos, y otros son personas normales (no-profesores) (N).

1 silla: P o N, dos formas.

2 sillas: NN o PN o NP, 3 formas (PP no está permitido).

3 sillas: NNN, NNP, NPN, PNN o PNP, 5 formas. Esta vez, PPN, NPP y PPP no están permitidos.

¿Cuántas posibilidades hay si tenemos n sillas? ¿será un número de Fibonacci? ¿Por qué?

Pregunta 4

Esta variación del problema es un poco más amable con los profesores. Cada persona, profesor o no, no debe sentarse solo, sino que un profesor debe sentarse junto a otro profesor, para poder charlar de sus cosas, y un no-profesor debe sentarse junto a otro no-profesor, ¡para no morir de aburrimiento! Así que podemos tener ...PPN... porque cada profesor está sentado junto a otro. El no-profesor de la derecha necesitará también otro no-profesor a su derecha, claro. Añadimos también una condición extra: el primero en sentarse (el del extremo de la izquierda) debe ser siempre un profesor (algún privilegio teníamos que tener los profesores, ¿no?).

1 silla: —, 0 formas.

 2 sillas: PP, 1 forma.

3 sillas: PPP, 1 forma.

4 sillas: PPPP o PPNN, 2 formas.

5 sillas: PPPPP, PPPNN o PPNNN, 3 formas. Comprueba que siempre hay un número de Fibonacci de configuraciones válidas siguiendo las reglas

 ¿Y si en lugar de empezar siempre con un profesor, empezásemos con un no-profesor? ¿Y si no ponemos ninguna condición sobre el primer asiento?

Pregunta 5

Aquí tenemos la versión antisocial del problema de las sillas, que algunos llaman la versión británica. No porque los británicos tengan nada de malo, sino porque tienen fama de ser muy reservados a veces, de modo que prefieren que un extraño no se siente a su lado si pueden evitarlo. Así que esta vez consideramos filas de sillas de diferente longitud, pero no permitimos que nadie se siente junto a nadie. Puede no haber nadie en una fila, o sólo una persona, pero siempre que haya dos personas o más, cada uno debe estar separado de los demás por al menos una silla vacía.

Aquí tenemos una fila de una silla, vacía: —

y aquí una fila de una silla, ocupada: P

así que hay dos formas de llenar una fila de una silla.

Si tenemos una fila con 2 sillas, hay 3 formas de ocuparla: — —, —P y P—.

Para 3 sillas, tenemos 5 posibilidades: ———, — —P, —P—, P— —, P—P.

¿Qué pasa para 4 sillas? ¿5? ¿n? 

Pregunta 6

          Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedando burbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas  ocupa un volumen total de 1.2 lit.  Si las densidades y masas de cada fluido son: r₁ = 1gr/cm³,  m₁ = 600 gr, r₂ = 0.8 gr/cm³ y  m₂ = 400 gr, considerando  despreciable la masa del aire en las burbujas,  calcule:

a)    El volumen total de las burbujas.

b)   La densidad de la mezcla.

  Pregunta 7

        Se mezclan homogéneamente tres  fluidos,  cuyas fracciones de volumen y densidades son X₁ =  0.435, ₁ = 1.2 gr/cm³;  X₂ = 0.46, ₂ = 0.85 gr/cm³ y X₃ = 0.105, ₃ = 1 gr/cm³, respectivamente.  Si el volumen de la mezcla es V_M =   766.27 cm³, calcular:

a)   La densidad de la mezcla.